로또(Lotto) 1등 확률 계산

우리나라에서 하고 있는 로또라는 것은 45개의 숫자가 적힌 공을 가지고 6개를 추첨하여 그 개수를 가지고 등수를 정하는 것이다.

1등 당첨번호 6개 숫자 일치

2등 당첨번호 5개 숫자 일치 + 보너스 숫자 일치

3등 당첨번호 5개 숫자 일치

4등 당첨번호 4개 숫자 일치

5등 당첨번호 3개 숫자 일치

 

각 등의 당첨 확률은 고등학교 수학을 배운 사람이라면 계산이 가능하다.

 

1등의 확률

6개의 공을 뽑게 되는데 1, 5, 7, 10, 31, 45 의 숫자를 뽑았다고 가정을 한다.

첫 번째로 숫자 1을 뽑게 된다고 하면 그 경우의 수는 45가지가 된다.

두 번째로 숫자 5를 뽑는다고 하자 첫 번째에서 1개의 공이 빠져나갔기 때문에 경우의 수는 44가지가 된다.

세 번째로 숫자 7을 뽑는다면 첫 번째와 두 번째에서 각각 1개씩 공이 빠져나갔으므로 경우의 수는 43가지가 된다.

네 번째로 숫자 10을 뽑으면 첫 번째, 두 번째, 세 번째에서 총 3개의 공이 빠졌으므로 경우의 수는 42가지가 된다.

다섯 번째로 숫자 31을 뽑을 때 앞서 4번의 뽑기로 인해 공이 4개가 나갔으므로 경우의 수는 41가지가 된다.

여섯 번째로 숫자 45를 뽑을 때 지금까지 총 5번 뽑기로 5개의 공이 나왔기 때문에 그 숫자만큼의 공을 제외하고 경우의 수는 40가지가 된다.

 

45개 공에서 6개를 뽑을 때 조합이 가능한 것은 45 x 44 x 43 x 42 x 41 x 40 = 5864443200

58억 가지가 조금 넘어간다. 그럼 당첨될 확률이 이것일까? 아니다.

동일한 경우가 들어가 있는데 이것에 대한 계산을 하지 않았다.

 

처음에 가정한 숫자로 생각을 해보자.

1, 5, 7, 10, 31, 45

45, 1, 5, 7, 10, 31

31, 45, 1, 5, 7, 10

10, 31, 45, 1, 5, 7

7, 10, 31, 45, 1, 5

5, 7, 10, 31, 45, 1

이것은 숫자 순서만 다른 것인데 모두 동일한 당첨결과를 가지게 된다.

이러한 것에 대한 고려가 아무것도 되어 있지 않아서 58억이 넘어가는 가지 수가 나오게 된 것이다.

6개의 숫자를 가지고 순서를 정할 때 나오는 경우의 수는 6 x 5 x 4 x 3 x 2  = 720 가지가 된다.

 

위와 같이 동일한 것이 나오는 것을 제외시켜야 정확한 확률이 나오게 되는 것이다.

 

1등에 당첨될 확률은

5864443200 / 720 = 8145060

 

즉 814만 5천 60명 중에 한 명이 당첨이 된다는 이야기가 된다.